Desplazamiento en frecuencia gravitacional de fotones en relatividad especial

Title: Desplazamiento en frecuencia gravitacional de fotones en relatividad especial

Abstract

Se presenta un procedimiento de cálculo para la deflexión de fotones y desplazamiento en frecuencia gravitacional al amparo de la relatividad especial. Se ofrecen algunas implicaciones a otros campos.

 

Autor: Enrique Domínguez Pinos. © Todos los derechos reservados.

Ingeniero Industrial.

 

Email: enrique_pinos@yahoo.es

 

Málaga, 15 de Noviembre de 2022

Table of Contents

• Introducción

• Definiciones

• Aplicación al experimento de Pound et al

• Redshift

• Ecuaciones

• Resultados

• Aceleración centrípeta terrestre

• Deflexión de fotones en campo gravitatorio

• Masa del fotón

• Radio de  Schwarzschild

• Referencias

 

Introducción

En el modelo mecánico sin cálculo de frecuencia de los fotones[1] usamos las ecuaciones de Euler-Lagrange con la restricción de relatividad especial de constancia de la velocidad de la luz.

Esa aproximación es útil cuando los fotones no viajan perpendicularmente a las lineas de potencial, esto es, en la dirección de alejarse/acercarse hacia la masa gravitacional. El modelo también es inestable numéricamente cuando esto pasa.

Vamos a ver un nuevo modelo que, en la misma línea, ahora permite el cálculo en cualquier caso y, además, permite evaluar la variación de frecuencia sin recurrir a relatividad general.

Definiciones

Ecuación de la energía cinética para las ondas electromagnéticas sería,

$${\mathrm{E}}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}\mathrm{m}{\mathrm{c}}^2=\mathrm{hf}\mathrm{.}$$

(1)

No podemos usan en (1) una expresión relativista porque los fotones viajan a la velocidad de la luz, y esa expresión ya coincide con la definición clásica de energía cinética del fotón; su onda asociada se desplaza a velocidad c. Y en el lado derecho vemos la energía, en función de la frecuencia, de dicha onda. El no usar esta expresión así, va en contra del resultado de los experimentos[2],[6],[7].

 

La relatividad especial requiere, para el fotón, que su velocidad sea c,

$$\vec{v}\cdot \vec{v}=c^{2.}$$

(2)

Dado un campo de fuerzas, para la partícula de masa m, la aceleración que se produce es,

$$\vec{a}=\vec{F}/m.$$

Podemos obtener su descomposición en aceleración tangencial, paralela a la dirección de movimiento,

$$\overrightarrow{a_t}=\frac{(\vec{a}\cdot \vec{v})\vec{v}}{c^2},$$

 y normal,

$$\overrightarrow{a_n}=\vec{a}-\overrightarrow{a_t}.$$

La fuerza con componente tangencial sería,

$$\overrightarrow{F_t}=m\overrightarrow{a_t}.$$

Esta descomposición permite calcular el desplazamiento en frecuencia, definido como el trabajo de la fuerza tangencial, e igual a la variación de frecuencia por la constante de Planck,

$${\mathit{dW}}_t=\overrightarrow{F_t}\cdot d\vec{x}=h\mathit{df}.$$

Despejando en (1) la masa y sustituyendo en la anterior, ya con el valor de la fuerza tangencial, nos queda,

$$\frac{2\mathit{hf}}{c^2}\overrightarrow{a_t}\cdot d\vec{x}=h\mathit{df}.$$

que nos da la variación de la frecuencia,

$$\frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}=\frac{2f}{c^2}\overrightarrow{a_t}\cdot \vec{v}.$$

o, usando (2),

$$\frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}=\frac{2f}{c^2}\vec{a}\cdot \vec{v}.$$

(3)

Y no depende de la constante de Planck.

 

Como el trabajo de la aceleración tangencial se invierte exclusivamente en la variación de frecuencia, es la aceleración normal la que define la trayectoria del fotón.

 

De este modo, las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) salen de introducir la fuerza normal en la ley de Newton,

$$\overrightarrow{F_n}=m\overrightarrow{a_n}=m\frac{d^2\vec{x}}{{\mathit{dt}}^2},$$

que no depende de la masa del fotón, como cabría esperar,

$$\frac{d^2\vec{x}}{{\mathit{dt}}^2}=\overrightarrow{a_n}.$$

(4)

El conjunto final de EDOs es el dado por (3) y (4).

Aplicación al experimento de Pound et al

Redshift

Dado por[3],

$$z=\frac{f_o}{f}-1.$$

Donde fo es la frecuencia inicial, y f la que se observa en el punto de recogida de la medición.

Ecuaciones

En campo gravitatorio la aceleración es,

$$\vec{a}=\mathit{GM}\left(\frac{-x}{{[x^2+y^2]}^{3/2}},\frac{-y}{{[x^2+y^2]}^{3/2}}\right),$$

la aceleración tangencial,

$$\overrightarrow{a_t}=\frac{-\mathit{GM}}{c^2}\left(\frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{{[x^2+y^2]}^{3/2}}\right)(\dot{x},\dot{y}),$$

y llamando, por simplificar,

$$G_r=\frac{\mathit{GM}}{c^2}\frac{1}{{[x^2+y^2]}^{3/2}},$$

la aceleración normal queda,

$$\overrightarrow{a_n}=G_r\left((x\dot{x}+y\dot{y})\dot{x}-x{c}^2,(x\dot{x}+y\dot{y})\dot{y}-y{c}^2\right),$$

ó, agrupando términos,

$$\overrightarrow{a_n}=G_r\left(y\dot{y}\dot{x}+x({\dot{x}}^2-c^2),x\dot{x}\dot{y}+y({\dot{y}}^2-c^2)\right).$$

Para la (4), las EDOs quedan,

$$\begin{array}{c}\ddot{x}=G_r\left(y\dot{y}\dot{x}+x({\dot{x}}^2-c^2)\right),\\ \ddot{y}=G_r\left(x\dot{x}\dot{y}+y({\dot{y}}^2-c^2)\right).\end{array}$$

Para la (3), con,

$$\vec{a}\cdot \vec{v}=-\mathit{GM}\left(\frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{{[x^2+y^2]}^{3/2}}\right),$$

queda,

$$\frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}=\frac{-2\mathit{GMf}}{c^2}\left(\frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{{[x^2+y^2]}^{3/2}}\right).$$

ó,

$$\frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}=-2f{G}_r(x\dot{x}+y\dot{y}).$$

Si expresamos todas las EDOs en el espacio de estados,

$$\begin{array}{c}\dot{p}=-G_r\left(x(c^2-p^2)-ypq\right),\\ \dot{q}=-G_r\left(-xpq+y(c^2-q^2)\right),\\ \dot{x}=p,\\ \dot{y}=q,\\ \dot{f}=-2f{G}_r(xp+yq).\end{array}$$

este sistema se integra con las condiciones en t=0,

$$\begin{array}{c}p=c,\\ q=0,\\ x=R,\\ y=0,\\ f=f_o.\end{array}$$

Hacemos coincidir con el eje x la dirección de partida del fotón. Con el origen de coordenadas en el centro de la masa gravitacional, de masa M y radio R. El fotón partirá desde su superficie paralelamente a la gravedad.

Puesto que hemos alineado el eje x con la dirección en que los fotones se emiten alejándose del campo gravitatorio, el sistema de ecuaciones se simplifica a,

$$\begin{array}{c}p=c,\\ q=0,\\ x=ct+R,\\ y=0,\\ \dot{f}=-2f{G}_{r}xp.\end{array}$$

sustituyendo en la última Gr,

$$\dot{f}=-2f\frac{\mathit{GM}}{c^2{x}^2}p\mathrm{.}$$

E integrando con el valor de x(t),

$$\frac{f}{f_o}=\exp \left(\frac{2\mathit{GM}}{c^2}\left(\frac{1}{\mathit{ct}+R}-\frac{1}{R}\right)\right)\mathrm{.}$$

Siendo ‘exp’ la función exponencial.

Y el redshift queda,

$$z=\exp \left(\frac{-2\mathit{GM}}{c^2}\left(\frac{1}{\mathit{ct}+R}-\frac{1}{R}\right)\right)-1.$$

Como lo que está en el interior de la exponencial es muy pequeño comparado con 1 en ambas de las dos expresiones anteriores, podemos aproximarlas,

$$z\simeq \frac{-2\mathit{GM}}{c^2}\left(\frac{1}{\mathit{ct}+R}-\frac{1}{R}\right),$$

(5)

y para la frecuencia,

 

$$\frac{f}{f_o}\simeq 1+\frac{2\mathit{GM}}{c^2}\left(\frac{1}{\mathit{ct}+R}-\frac{1}{R}\right)\mathrm{.}$$

(6)

 

Resultados

En el experimento,

$$\mathit{ct}=h,$$

Usando la aproximación para la gravedad de la tierra con,

$$R\gg h,$$

(6) queda,

$$z\simeq \frac{2\mathit{GMh}}{R^2{c}^2},$$

y sustituyendo por la aceleración de la gravedad,

$$g=\frac{\mathit{GM}}{R^2},$$

resulta,

$$z\simeq \frac{2\mathit{gh}}{c^2},$$

Sustituyendo los valores del experimento de Pound y Snider (1965),

$$\begin{array}{c}h=22m,\\ g=\mathrm{9,82}m/s^2,\\ c=\mathrm{299,792,458}m/s,\\ R=\mathrm{6,371}{e}^{6}m,\end{array}$$

queda,

$$\begin{array}{c}{z}_{\exp }=4.905e^{-15},\\ z_{\mathit{teo}}=4.8076e^{-15}.\end{array}$$

El valor de h se encuentra disperso en las referencias (abiertas) que se han consultado, tal vez un intento (lamentable) de cuadrar los resultados con los valores de las constantes físicas de hoy. Usando, por ejemplo, el valor h=22.5m,

$$z_{\mathit{teo}}=4.9168e^{-15}.$$

Obtenemos un acuerdo muy aproximado con el experimento. Nótese que si en (1) eliminamos el 2 de la energía cinética, este resultado se predice a la mitad, por lo que tenemos que mantener esa expresión.

Aceleración centrípeta terrestre

Un cálculo rápido sobre la aceleración centrípeta terrestre arroja,

$$a_c={\left(\frac{2\pi }{24\cdot 3600}\right)}^{2}R=0.034m/s^2,$$

Con R el radio de la tierra. Si restamos esta aceleración a la de la gravedad, el nuevo redshift es,

$$z_{\mathit{teo}}=4.7910e^{-15}.$$

Usando el valor h=22.5m,

$$z_{\mathit{teo}}=4.8999e^{-15}.$$

nos aproxima más al valor del experimento.

Deflexión de fotones en campo gravitatorio

Para el método expuesto aquí se ha obtenido una deflexión de 0.873 arcseg. Los cálculos de [1] son similares porque, como se ha indicado, la medida de la deflexión de fotones se realiza con bastante precisión con lo expuesto en [1] (que resultó en 0.875 arcseg).

Masa del fotón

Nótese que (1) parece predecir una masa para el fotón[4],[5],[8]. Que varía, además, con la frecuencia de la onda electromagnética,

$$m=\frac{2\mathit{hf}}{c^2},$$

Para la temperatura de T=1e3K, la ley de Wien[9],

$${\lambda }_{\mathit{max}}T=b,$$

 con,

$$b=2.898e^{-3}m\cdot K.$$

Nos da una frecuencia máxima de los fotones de,

$$f_{\mathit{max}}=\frac{c}{{\lambda }_{\mathit{max}}}=\frac{cT}{b},$$

Lo que nos da una masa estimada de,

$$m=\frac{2\mathit{hT}}{\mathit{cb}}=1.5253e^{-36}\mathit{kg}\gg 1e^{-40}\mathit{kg},$$

que ya debiera haberse detectado. Lo que no deja claro cómo interpretar la masa en (1).

Radio de  Schwarzschild

Vamos a definir el radio de Schwarzschild, sobre la predicción de agujeros negros, en base a (6).

 

Imaginemos un fotón que se aleja del campo gravitatorio hasta perder toda su energía. Si en la expresión (6) hacemos,

$$t\to \mathrm{\infty },f\to 0,$$

entonces, invirtiendo el orden de los términos de la ecuación para tener el cero a la derecha,

$$1-\frac{2\mathit{GM}}{{\mathit{Rc}}^2}=0,$$

Podemos despejar el valor del radio R,

$$R=\frac{2\mathit{GM}}{c^2}\mathrm{.}$$

Que es la expresión del radio de Schwarzschild, obtenida con consideraciones sólo sobre energía de los fotones. Nótese que en éste caso el infinitésimo de la exponencial tiene bastante error, y es mejor usar una aproximación más precisa como,

$$R=\frac{2\mathit{GM}}{10\cdot c^2}\mathrm{.}$$

Por lo que este razonamiento nos lleva a dos conclusiones:

- El radio de Schwarzschild parece estar sobreestimado en un factor de 10.

- Los agujeros negros dejarían de emitir radiación sólo en el límite del infinito, o sea, que con el instrumento lo bastante preciso, tiene detectarse radiación.

Referencias

1. Deflection of photons in gravitational field. https://vixra.org/abs/2211.0075

2. Measurements of gravitational redshift between 1959 and 1971. https://www.researchgate.net/publication/250892397

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Redshift

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Photon

5. https://pdg.lbl.gov/2022/tables/contents_tables.html

6. https://en.wikipedia.org/wiki/Pound-Rebka_experiment

7. The Gravitational Red-Shift. arXiv:gr-qc/0403082

8. The mass of the photon. http://stacks.iop.org/RoPP/68/77. Doi:10.1088/0034-4885/68/1/R02

9. https://en.wikipedia.org/wiki/Wien%27s_displacement_law

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Deflexión de fotones en campo gravitatorio

Prueba del modelo MGF respecto a la deflexión de fotones. Se va repetir la calibración del modelo (estimar la velocidad de las ondas de materia) usando como estimador la deflexión de los fotones a su tránsito junto al sol. El cálculo de la deflexión de fotones se realiza al estilo Soldner.

 

Autor: Enrique Domínguez Pinos. © Todos los derechos reservados.

Ingeniero Industrial.

 

Málaga, 14 de Noviembre de 2021

 

Contenidos

Table of Contents

• Introduccion

• Ecuaciones de modelado mecánico

• Integración de las EDO en el espacio de estados

• Condiciones iniciales

• Deflexión

• Referencias

 

 

 

Introduccion

La predicción de la deflexión de fotones en campo gravitatorio es un test clásico de relatividad general (1). Vamos a realizar el cálculo usando el lagrangiano mecánico suponiendo los fotones bajo la restricción de la relatividad especial, esto es, sujetos a desplazarse a velocidad constante igual a c.

Realizaremos el cálculo al estilo Soldner(2), esto es, suponiendo el fotón partiendo tangencialmente al sol desde su ecuador y calculando la deflexión al alejarse al infinito. La desviación total será el doble de la calculada con éste procedimiento.

Ecuaciones de modelado mecánico

Si se toma como sistema de referencia el baricentro del sol y usamos coordenadas cartesianas; el potencial en su entorno queda,

$$V=\frac{-G{M}_s}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Siendo G la constante de la gravedad de Newton y Ms la masa del sol.

La energía cinética de un fotón será,

$$T=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$$

Y la restricción, de relatividad especial, respecto a la velocidad constante,

$${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2=c^2$$

Con esto, construimos del lagrangiano del fotón,

$$L=T-V$$

Que queda,

$$L=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+\frac{G{M}_s}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{1}{2}\lambda ({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2-c^2)$$

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange para cada variable,

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{\mathit{dt}}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}})=0,q_i=\{x,y,\lambda \}$$

Obtenemos las tres ecuaciones,

$$\frac{-G{M}_{s}x}{\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}}-\frac{d}{\mathit{dt}}[(1+\lambda )\dot{x}]=0$$

$$\frac{-G{M}_{s}y}{\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}}-\frac{d}{\mathit{dt}}[(1+\lambda )\dot{y}]=0$$

$${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2-c^2=0$$

Integración de las EDO en el espacio de estados

Si definimos las variables de estado, para la integración,

$$p=\dot{x}(1+\lambda )$$

(1)

Y,

$$q=\dot{y}(1+\lambda )$$

(2)

las tres ecuaciones nos quedan,

$$\dot{p}=\frac{-G{M}_{s}x}{\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}}$$

$$\dot{q}=\frac{-G{M}_{s}y}{\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}}$$

$$\frac{p^2}{{(1+\lambda )}^2}+\frac{q^2}{{(1+\lambda )}^2}=c^2$$

Despejando es esta última para 1+λ y tomando el signo positivo de la raíz,

$$\frac{\sqrt{p^2+q^2}}{c}=1+\lambda$$

podemos sustituir en las (1) y (2) despejando las derivadas de x e y,

$$\dot{x}=\frac{pc}{\sqrt{p^2+q^2}}$$

y,

$$\dot{y}=\frac{qc}{\sqrt{p^2+q^2}}$$

Que nos completa el sistema de EDO de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas en p, q, x, y,

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\dot{p}=\frac{-G{M}_{s}x}{\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}},\\ \dot{q}=\frac{-G{M}_{s}y}{\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}},\end{array}\\ \begin{array}{c}\dot{x}=\frac{pc}{\sqrt{p^2+q^2}},\\ \dot{y}=\frac{qc}{\sqrt{p^2+q^2}},\end{array}\end{array}$$

Si deseamos considerar fuerzas adicionales, como la MGF, las incluimos en las dos primeras ecuaciones. Las dos últimas sólo permiten realizar el cálculo de modo que se mantenga la restricción de velocidad.

Condiciones iniciales

Para t=0, x=0, y=-Rs, p=c, q=0.

Siendo Rs el radio del sol.

Suponemos que el fotón avanza inicialmente en la dirección del eje x y que λ=0.

 

Se realiza la integración hasta que p/q es sensiblemente constante. Esto pasa, en la práctica, cuando el tiempo de tránsito alcanza los 600 segundos.

Deflexión

Para el ángulo de deflexión tenemos,

$$\delta =2\mathit{atan}(\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}})$$

o,

$$\delta =2\mathit{atan}(\frac{q}{p})$$

Con δ=0.875 arcosegundos para una deflexión debida sólo a la gravedad de Newton.

 

Ajustando el modelo de ondas de materia(3) para la velocidad de dichas ondas, se obtiene cm=1,195,765 m/s, para una deflexión δ=1.7502 arcosegundos.

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Referencias

1. https://es.wikipedia.org/wiki/Pruebas_de_la_relatividad_general

2. Mignonat, M. (2018) Soldner Had Found in 1802 the Deflection of the Light by the Sun as the General Relativity Shows. Journal of Modern Physics, 9, 1545-1558. https://doi.org/10.4236/jmp.2018.98095

3. http://crakem.blogspot.com/2014/07/mass-wave-model-mgf-model.html